2010.09.07
風呂入ってる間に暇だから数学について考えてみたんだけど(10)
■風呂入ってる間に暇だから数学について考えてみたんだけど
正規の教育を受けていない中卒で、この内容はトンデモっぽいから詳しい人突っ込みよろしく。
区間 [0, 2PI] において、任意の a を x の係数とした sin ax は+1と-1の間の値をとる周期 a の正弦波の関数である事は周知の通りだが、例えば a を無限大にまで極限させてみるとどうなるだろうか。
具体的には、上述の例に於いて lim_[a → #N] の極限の条件を付け加えるのである。
ただし N は自然数全体の集合で、 #S は集合 S の濃度を示すとする。
適当な b (0 ≦ b ≦ 2PI) を選び、 sin b と同じ値が sin ax 中にいくつ現れるかを数えてみる。
[0, 2PI] sin ax (a in N) で sin b と一致する値をとる場所はsinの導関数が極大あるいは極小になる PI/4 と 3PI/4 であれば a 個、そうでない場合は 2a 個である。
lim_[a → #N] では区間 [0, 2PI] 内でその個数は #N と同じ値になる。
周期関数が有界な区間の中に可算無限回敷き詰められているのだから、これを面だと主張しても良さそうに思える。
実際、 lim_[a → #N] sin ax で x を適当な実数とすると、関数の値は [+1, -1] の範囲で特定不可ではあるが、任意に選んだ c (-1 ≦ c ≦ +1) というのは確かに存在する。
今日は体調が優れずこれ以上考えが及ばなかったのでここまでにしておくが、
- 面から線への射
- lim_[a → #(Pow^n(N))] の極限
- 線から面ではなく線型代数を使った多次元の場合
- 連続周期関数ではなくディラックのデルタ関数を使った場合の濃度の考察
など、考える余地はまだありそうだ。
また、この記事自体既存の考えに重複するものかもしれない。その場合は、無学な私にどの分野と被るかを具体的に教えてくれるとありがたい。
Permalink | トラックバック(2) | 20:23 
1
■http://anond.hatelabo.jp/20100906202318
関数空間を勉強するといいと思います。
自分も数学の別の分野が専門なので、素朴な印象だけで答えます。
たとえば
sin(x)/n は n=1,2,･･･ と増やしていけば 恒等的に0 という関数に「収束」します。
この「収束」は、ある関数空間の中で（たとえば連続関数全体の中で）
1つ1つの関数を点と見なす時に、
{ sin(x)/n }という点の列が実際に 恒等的に0 という点に収束することを使って定義します。
（ たとえば 2つの関数f(x)とg(x)の距離を、max{|f(x)-g(x)|} と定めた空間を考えれば
この空間の中で sin(x)/n と 0 との距離は 1/n なので
nを大きくすると、どんどん距離が縮んでいき、実際に収束しています。
・ ・ ・ ・ ・・･･ ←このような感じ )
さて問題の sin(nx) という関数の列は n→∞ でどうなるでしょうか？
上の例のように関数空間の中での点の収束として話を進めるためには、
この関数列が収束するような、
うまい”関数の集合”と”距離”（合わせて新しい関数空間）を定義する必要があります。
自分はまだそのような都合の良い関数空間を知りません。
Permalink | トラックバック(1) | 22:06 
2
■http://anond.hatelabo.jp/20100906220623
なるほど、関数空間が当てはまる分野の様ですね。
位相と集合の入門が終わった当たりの知識でできそうなので、調べてみます。
学習の手がかりを見つけることができました。ありがとうございます。
Permalink | トラックバック(0) | 22:13 
1
■http://anond.hatelabo.jp/20100906202318
> 周期関数が有界な区間の中に可算無限回敷き詰められているのだから、これを面だと主張しても良さそうに思える。
残念ながらこれで面は埋まりません。lim_{arightarrowinfty} sin ax (0 leq x leq 2pi) のグラフに x = d (0 leq d leq 2pi)で縦に線を引いてみてください。交点は1個だけでしょ？
Permalink | トラックバック(1) | 22:19 
2
■http://anond.hatelabo.jp/20100906221918
本当ですね。
私は疲れていたのかもしれません。
少し休んで、もっと真面目に勉強します。
Permalink | トラックバック(1) | 22:44 
3
■http://anond.hatelabo.jp/20100906224440
lim_{nrightarrowinfty} int_0^{2pi} {|sin nx|} dx って幾つになるんだろう？
追記：正直すまんかった、ごめん。気になったのでやってみた。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Cint_0%5E%7B%5Cpi%7D+%7Csin+9x%7C+dx
Permalink | トラックバック(1) | 22:56 
4
■http://anond.hatelabo.jp/20100906225615
なんで「少し休んで～」って言ってるのに追い討ち掛けて話題ふるの？
まともに考えられる頭じゃないから休みたいって言ってるのに理解できないの？
2chの数学板の連中もそうだけど、人の都合を考えずに変な事を言う連中が多いのは数学を専門で学んでいる人全般に言える事なの？
いや、もう何と言うかね、ただ調べたいってだけなら中卒のバカにじゃなくてgoogleなり教官なりに訊ねた方が早いんだよ。本当に一言余計だな。
クソどいつもこいつも
Permalink | トラックバック(1) | 23:08 
5
■http://anond.hatelabo.jp/20100906230842
休むからって数学のことを考えないのか？
それは数学者になれない。
いい悪いではない。人間としてまともな生活を遅れるだろうが、しかし、常住坐臥数字のことで頭が埋め尽くされているのでなければ数学者にはなれない。
Permalink | トラックバック(1) | 23:13 
6
■http://anond.hatelabo.jp/20100906231304
そんなもの人それぞれだろ。
俺は体調管理が優先なんだよ。
それに実にならない事ばかり考えても時間の無駄なんだから、ちゃんと考えられる時間を作らないといけない。
Permalink | トラックバック(2) | 23:17 
7
■http://anond.hatelabo.jp/20100906231711
同じ中卒としてぶち切れてんのが恥ずかしいからやめてケロ。
Permalink | トラックバック(0) | 23:20 
7
■http://anond.hatelabo.jp/20100906231711
ああ、人それぞれだな。
そして数学を一時的に頭から追い出せる幸せな人は数学者じゃない。
わからない人には分からないだろうよ。
Permalink | トラックバック(0) | 23:42 
コメント
コメントする